Question

同学们知道：只有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．在△ABC中和△ADC中，AB=AD，∠BCA=∠DCA，当∠BCA分别为“直角、钝角、锐角”时，探究这两个三角形会不会全等．
（1）填空：如图A，当∠BCA是直角时：
∵△ABC和△ADC，AB=AD，AC=AC，∠BCA=∠DCA=90°．
∴△ABC≌△ADC

 

．（从SAS、ASA、AAS、SSS、HL中选取一项作为理由）
（2）如图B，当∠BCA是钝角时，求证：△ABC≌△ADC．（提示：过点A作AE⊥DC交DC的延长线于E，过点作AF⊥BC交BC的延长线于F）
（3）当∠BCA是锐角时，△ABC和∠ADC不一定全等．
例如：如图C，在△A₁B₁C₁和△E₁B₁C₁中，A₁B₁=B₁E₁，∠B₁C₁A₁=∠B₁C₁E₁，B₁C₁=B₁C₁，但是这两个三角形不全等．
当∠BCA满足什么条件时，可得△ABC≌△ADC？请直接写出这个条件：

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）直角三角形中，根据一条直角边和斜边判定三角形全等方法为“HL”方法；
（2）易证∠ACE=∠ACF，即可证明△AEC≌△AFC，可得AE=AF，即可证明RT△ADE≌RT△ABF，可得∠B=∠D，即可证明△ABC≌△ADC，（AAS）；
（3）如图所示，∠BAE是锐角，而∠BEC是钝角，AB=BE，此时添加条件∠BCA≥∠BAC，则可使得∠BAE只能是锐角，即可解题．

解答：解：（1）HL；
（2）过点A作AE⊥DC交DC的延长线于E，过点作AF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠BCA=∠DCA，
∴∠ACE=∠ACF，
在△AEC和△AFC中，

∠E=∠F=90° ∠ACE=∠ACF AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC，（AAS）
∴AE=AF，
在RT△ADE和RT△ABF中，

AE=AF AB=AD

，
∴RT△ADE≌RT△ABF（HL），
∴∠B=∠D，
在△ABC和△ADC中，

∠BCA=∠DCA ∠B=∠D AB=AD

，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（3）∠BCA≥∠BAC，
理由：在△A₁B₁C₁和△E₁B₁C₁中，A₁B₁=B₁E₁，∠B₁C₁A₁=∠B₁C₁E₁，B₁C₁=B₁C₁，但是这两个三角形不全等．
不全等原因是因为∠BAE可以是锐角也可以是钝角，
添加条件∠BCA≥∠BAC，此时∠BAC只能是锐角，
故此时用“SAS”方法即可判定△ABC≌△ADC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEC≌△AFC和RT△ADE≌RT△ABF是解题的关键．