Question

5．点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，△APB的面积是90cm²，△CPB的面积是48cm²．请你回答：正方形ABCD的面积是多少cm²？

Answer 1

分析 由于△APB与△CPB共底，因此，分别作出PB上的高就找到了解决问的突破口．具体而言，作AE垂直PB于E，作CF垂直PB于F，△APB与△CPB面积已知，PB也已知，则可求出CF和AE，易证三角形ABE与三角形BCF全等，然后用勾股定求出正方形边长的平方，即正方形面积．

解答 解：如图，作AE垂直PB于E，作CF垂直PB于F，

则${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}×PB×AE$，${S}_{△PCB}=\frac{1}{2}×PB×CF$，
∵S_△PAB=90，S_△PCB=48，PB=12，
∴AE=15，CF=8，
∵∠ABE+∠CBF=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
在△CBF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAE=∠CBF}\\{∠AEB=∠BFC}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△BAE（AAS），
∴BE=CF=8，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=225+64=289，
即正方形的面积为289．

点评 本题主要考查了正方形的性质、面积的计算、全等三角形的判定与性质，难度适中，是一道好题．作出共底的两个三角形的高线，从而构造全等三角形是解决问题的关键．