Question

17．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在AD，BC上，且DE=CF，连结AF，BE交于点M，过C作CN⊥BE于点N．求证：AM+MN=CN．

Answer 1

分析 由△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，因为∠DAF+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABE=90°，所以∠AMB=90°，再证明△ABM≌△BCN得AM=BN，BM=CN，由此即可证明．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ADC=∠BC=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，
∴∠AMB=90°，
∵∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠NCB=90°，
∴∠ABM=∠BCN，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠BNC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，BM=CN，
∴CN=BN+MN=AM+MN．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，两次利用全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．