Question

12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB；当点M在AC上，且AM=BM时，AM=$\sqrt{2}$时；当点M为CG的中点时，AM=BM；△ABM为等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2$\sqrt{2}$时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，求出S=$\frac{1}{2}$AF•FM=$\frac{1}{4}$t²；当t=2$\sqrt{2}$时，即可求出S的最大值；
②当M在CG上时，即2$\sqrt{2}$＜t＜4$\sqrt{2}$时，先证明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MG•cos45°=4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，得出S=S_△ACG-S_△CMJ-S_△FMG，S为t的二次函数，即可求出结果．

解答 （1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；
当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形；
当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；
当点M在AC上，且AM=BM时，AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$时，则△ABM为等腰三角形；
当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；

（2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠CDG=90°，
∵BK=AB-AK，ND=AD-AN，
∴BK=DN，
∵DH平分∠CDG，
∴∠CDH=45°，
∴∠NDH=90°+45°=135°，
∴∠BKN=180°-∠AKN=135°，
∴∠BKN=∠NDH，
在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，
又∵BN⊥NH，
即∠BNH=90°，
∴∠ANB+∠DNH=180°-∠BNH=90°，
∴∠ABN=∠DNH，
在△BNK和△NHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABN=∠DNH}&{\;}\\{BK=DN}&{\;}\\{∠BKN=∠NDH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BNK≌△NHD（ASA），
∴BN=NH；

（3）解：①当M在AC上时，即0＜t≤2$\sqrt{2}$时，△AMF为等腰直角三角形，
∵AM=t，
∴AF=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$AF•FM=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$\frac{1}{4}$t²；
当t=2$\sqrt{2}$时，S的最大值=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$）²=2；
②当M在CG上时，即2$\sqrt{2}$＜t＜4$\sqrt{2}$时，如图2所示：
CM=t-AC=t-2$\sqrt{2}$，MG=4$\sqrt{2}$-t，
在△ACD和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}&{\;}\\{∠ADC=∠CDG}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△GCD（SAS），
∴∠ACD=∠GCD=45°，
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，
∴∠G=90°-∠GCD=45°，
∴△MFG为等腰直角三角形，
∴FG=MG•cos45°=（4$\sqrt{2}$-t）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴S=S_△ACG-S_△CMJ-S_△FMG=$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×CM×CM-$\frac{1}{2}$×FG×FG
=4-$\frac{1}{2}$（t-2$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{2}$（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²=-$\frac{3}{4}{t}^{2}$+4$\sqrt{2}$t-8
=-$\frac{3}{4}$（t-$\frac{8}{3}\sqrt{2}$）²+$\frac{8}{3}$，
∴当t=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$时，S的最大值为$\frac{8}{3}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结果．