Question

【题目】已知抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，若动点在对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；

（3）如图2，设点关于对称轴的对称点为，是线段上的一个动点，若，求直线的表达式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线m的函数表达式；
（2）连接BC交抛物线对称轴n于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAC的周长最小，由点B，C的坐标可求出直线BC的函数表达式，由抛物线的函数表达式可得出抛物线对称轴为直线x=2，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；

（3）由抛物线的对称轴及点C的坐标可得出点D的坐标，进而可得出OE，CD的长，设点M的坐标为（0，y）（0≤y≤6），则OM=y，CM=6-y，由△DMC∽△MEO，利用相似三角形的性质可求出OM的长，进而可得出点M的坐标，再根据点D，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线DM的函数表达式．

（1）抛物线：经过，，三点，

，解得：

抛物线的表达式为：．

（2）如图1．连接与对称轴交于点，

和关于对称轴对称，

对称轴为，且有，

，

两点之间线段最短，

的周长最小值为，

此时与对称铀的交点为所求，

：经过，的直线为，

当时，，则．

（3）如图2，对称轴为．

点关于对称轴的对称点为

点在线段上，设点的坐标为，

则，，，

又，，

由，得：，即，

解得：或4，则点的坐标为或，

设直线的表达式为，

①当，时，有，即．

直线的表达式为；

②当，时，有，即．

直线的表达式为：

综上所述：所求自线的表达式为或．