Question

【题目】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AB的垂直平分线EF分別交AC、AB边于E、F点．若点O为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BOM周长的最小值为_______．

Answer 1

【答案】9

【解析】

连接AO，AM．由于△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，故AO⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AO的长，再再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，由OM+BM=OM+AM≥OA，可知AO的长为BM+MO的最小值，由此即可解决问题；

连接AO，AM．

∵△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，

∴AO⊥BC，

∴S△ABC=BCAO=×6×AO=18，

解得AO=6，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点CB于直线EF的对称点为点A，

∴BM=MA，

∵OM+BM=OM+AM≥OA，

∴AO的长为BM+MO的最小值，

∴△BOM的周长最小值=（BM+MO）+BO=AO+BC=6+×6=6+3=9．

故答案为：9．