Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，且与x轴交于另一点A，连接AC，点D在BC上方的抛物线上，设点D的横坐标为m，过点D作DH⊥BC于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）线段DH的长为　　　　(用含m的代数式表示)；

（3）点M为线段AC上一点，连接OM绕点O顺时针旋转60°得线段ON，连接CN，当CN=，m=6时，请直接写出此时线段DM的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得解析式；

（2）利用勾股定理列方程计算即可得出；

（3）作∠NPO=60°（点P在x轴上），作NQ⊥x轴，交x轴于点Q，

作NH⊥y轴交y轴于点H，作MG⊥x轴交x轴于点G，交DS于点T，DS⊥x轴于点S，

做出辅助线后根据条件讨论即可．

（1）根据可得B（11，0），C（0，），

将B，C两点代入，

得，解得，

∴解析式为：；

（2）由题意可得B（11，0），C（0，），

∴OB=11，OC=，

∵D点的横坐标为m，

∴D点的坐标可表示为（m，）

∴|BC|=，

|DC|=，

|BD|=，

设CH=x，

∴|DC|2-x2=|BD|2-(14-x)2

解得x=,

|DH|=；

（3））如图，作∠NPO=60°（点P在x轴上），作NQ⊥x轴，交x轴于点Q，

作NH⊥y轴交y轴于点H，作MG⊥x轴交x轴于点G，交DS于点T，DS⊥x轴于点S，

∵抛物线交x轴于点A，B，

∴令

解得x1=11，x2=-5，

即A（-5，0），OA=5，

∵tan=，

∴∠CAO=60°，∠ACO=30°，

∵∠MON=60°，∠CAO=120°，

∴∠MOA+∠NOP=120°，∠MOA+∠AMO=120°，

∴∠NOP=∠AMO，

在△MOA和△ONP中,

∴△MOA≌△ONP（AAS），

∴NP=OA=5，

在Rt△NQP中，QP=NP·cos60°=，NQ=NP·sin60°=，

在四边形NHOQ中，∠NQO=∠QOP=∠OQN=90°，

∴∠HNQ=90°，

∴四边形NHOQ是矩形，

∴OH=NQ=，CH=OC-OH=-=，

在Rt△CHN中，HN=，

在Rt△HNO中，ON=，

∴OM=ON=，

设MG=a，则GC==，OG=-，

在Rt△MOG中，DM2=MG2+OG2，

即212=a2+（-）2，整理得：（a-3）（2a-9）=0，

解得a1=3，a2=，

当m=6时，D（6，），

①a1=3时，MT=3+6=9，TS=OG=，DT=-=，

在Rt△DMT中，DM=，

②a2=时，MT=+6=，TS=OG=，DT=-=，

在Rt△MDT中，DM=，

综上DM的值为或．