Question

【题目】若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”（例如圆的直径就是圆的“和谐线段”）

问题探究：

（1）如图①，已知△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，请写出△ABC的两条“和谐线段”的长．

（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，请直接写出该平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值和最小值；

问题解决

（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图，其中AB＝2，CD＝10，∠A＝135°，∠B＝90°，tanC＝，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

Answer 1

【答案】（1）BD＝5，AE＝2，CF＝；（2）最小值为3，最大值为2；（3）可以，CM的值为

【解析】

（1）作△ABC的中线AE，BD，CF．线段AE，BD，CF都是△ABC的和谐线段．
（2）作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，连接AC，BD交于点O．经过点O的直线都是平行四边形ABCD的“和谐线”．求出平行四边形对边之间的距离，对角线的从即可判断．
（3）构造直角三角形，求出四边形ABCD的面积，分两种情形分别求解即可．

（1）作△ABC的中线AE，BD，CF．线段AE，BD，CF都是△ABC的和谐线段．

在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝＝10，

∴BD＝AC＝5，AE＝＝2，CF＝＝．

（2）作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，连接AC，BD交于点O．经过点O的中线都是平行四边形ABCD的“和谐线”．

在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，∠ABE＝60°，

∴AE＝ABsin60°＝3，

同法可求：CF＝4，

∴平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最小值为3，

作DH⊥BC交BC的延长线于H．易知CH＝BE＝3，

在Rt△BDH中，BD＝＝＝2，

在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，

∴平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值为2．

（3）如图③﹣1中，作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F．

在Rt△CDE中，∵CD＝10，tanC＝，

∴DE＝6，EC＝8，

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB＝EF＝2，

∴DF＝4，

∵∠DAB＝135°，∠BAF＝90°，

∴∠DAF＝45°，

∴AF＝BE＝DF＝4，

∴BC＝4+8＝12，

∴S四边形ABCD＝（2+6）×4+×6×8＝40，

如图③﹣2中，当CM＝CN时，设CM＝CN＝x．

∵tanC＝＝，

∴NH＝x，

∵S△MNC＝20，

∴xx＝20，

∴x＝或﹣（舍弃）．

如图③﹣3中，当CM＝MN时，设CM＝MN＝x．作MH⊥CN于H．

∵MC＝MN，MH⊥CN，

∴CH＝HN，

∵tanC＝＝，

∴MH＝x，CH＝x，

∴CN＝x，

∴xx＝20，

∴x＝或（﹣）

此时CN＞10，不符合题意舍弃，

综上所述，满足条件的CM的值为．