Question

【题目】如图，已知直线与二次函数的图像交于点A、O，(O是坐标原点)，点P为二次函数图像的顶点，OA=，AP的中点为B．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求线段OB的长；

（3）若射线OB上存在点Q，使得△AOQ与△AOP相似，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】；（2）； (3)点Q的坐标时，△AOQ与△AOP相似.

【解析】

（1）由点A在直线y=x上，可知A的横纵坐标相等，又因为OA=

，所以可以求出A的坐标，再把O和A的坐标代入y=x2+bx+c，求出b和c的值即可求出函数的解析式；
（2）用配方法求出顶点P的坐标，再利用勾股定理求出OP的长和AP的长，利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形状，进而求出OB的长；
（3）若△AOQ与△AOP相似，则①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出满足题意的OQ值即可．

（1）∵点A在直线上，且，∴A(3,3) .

∵ 点O(0,0)，A(3,3)在的图像上，

∴ ，解得： 。∴二次函数的解析式为.

（2）由题意得顶点P(1,-1)。∴

∴，∴∠AOP=90°.

∵∠AOP=90°，B为AP的中点 ，∴.

(3) ∵∠AOP=90°，B为AP的中点 ，∴OB=AB .∴∠AOB=∠OAB.

若△AOQ与△AOP相似，，则①△AOP∽△OQA ，

∴，∴.

②△AOP∽△OAQ ，∴ .

∵B(2,1) ∴.

即点Q的坐标时，△AOQ与△AOP相似.