Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．

（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；

（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；

（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE＝45°，（2）∠DAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC

【解析】

（1）由于AB＝AC，∠BAC＝90°，从而求出∠B＝∠ACB＝45°，又因为BD＝BA，可知∠BAD＝∠BDA＝67．5°，因为CE＝CA，可知∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22．5°，最后可求出得∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°．

（2）由于AB＝AC，∠BAC＝120°，从而求出∠B＝∠ACB＝30°，又因为BD＝BA，可知∠BAD＝∠BDA＝75°，因为CE＝CA，可知∠CAE＝∠E＝∠ACB＝15°，最后可求出得∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°．

（3）可设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，从而可知∠BAE＝2y﹣x，∠DAE＝y﹣x，∠BAC＝2y﹣2x，所以可知∠DAE＝∠BAC，

（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵BD＝BA，

∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67．5°，

∵CE＝CA

∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22．5°，

∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112．5°，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，

（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝30°，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA＝75°，

∴∠DAC＝45°，

∵CA＝CE，

∴∠E＝∠CAE＝15°，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；

（3）∠DAE＝∠BAC，

理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，

则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，

∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，

∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x

∴∠DAE＝∠BAC．