Question

13．如图（1），在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠1=45°．射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动．设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图（2），求经过G，O，B三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax²+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答．

解答 解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠1=45°，
∴∠AOC=（90°-45°）+45°=90°，
∴AO⊥CO，
∵C′O′是CO平移得到，
∴AO⊥C′O′，
∴△OO′G是等腰直角三角形，
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，
∴OO′=2x，
∴其以OO′为底边的高为x，
∴y=$\frac{1}{2}$×（2x）•x=x²；

（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，
∵$\frac{1}{2}$×6=3，
∴点G的坐标为（3，3），
设抛物线解析式为y=ax²+bx，
则$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=3}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x．

点评 此题主要考查了二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键．