Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 过F点作FG∥BC．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF=CF=2，DF=$\sqrt{3}$，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4-2$\sqrt{3}$，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=$\sqrt{3}$-1．

解答 解：过F点作FG∥BC．
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，AD⊥BC，
∵∠ACE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠CAD=∠ACE=15°，
∴AF=CF，
∵∠ACD=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DCE=75°-15°=60°，
在Rt△CDF中，AF=CF=$\frac{DC}{cos60°}$=2，DF=CD•tan60°=$\sqrt{3}$，
∵FG∥BC，
∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+$\sqrt{3}$），
解得GF=4-2$\sqrt{3}$，
∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4-2$\sqrt{3}$）：2，
解得EF=$\sqrt{3}$-1．
故选：A．

点评 综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径．