Question

12．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过B，C两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AD，请在指定位置画出线段AD；
（3）在（2）的指定条件下，连接BC，BD，求tan∠CBD的值．

Answer 1

分析 （1）由图可得点B的坐标为：（4，1），又由反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过B点，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式；
（2）根据旋转的性质，即可画出线段AD；
（3）由题意首先确定点C的坐标，然后利用勾股定理的逆定理证得△BCD是直角三角形，继而求得tan∠CBD的值．

解答 解：（1）∵点B的坐标为：（4，1），且反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过B点，
∴k=xy=4×1=4，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{4}{x}$；

（2）如图，线段AD即为所求；

（3）由（2）得：D（0，3），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∵在平面直角坐标系中，A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过B，C两点，
∴点C可能是（2，2），（1，4），
∵当x=2时，y=-$\frac{1}{2}$×2+3=2，
∴点（2，2）在直线BD上，不符合题意，舍去；
∴点C的坐标为：（1，4），
∴CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（4-1）^{2}+（4-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{（4-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、旋转的性质以及勾股定理的逆定理．注意判定△BCD是直角三角形是关键．