Question

17．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．

解答 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=70°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=$\frac{180°-∠AOD}{2}$=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{-6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{7}$．
又∵OD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DE=OD-OE=4-$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是解答此题的关键．