【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣4(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣2,0)、C(8,0)两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若点P(m,n)是该二次函数图象上的一个动点(其中m>0,n<0),连结PB,PD,BD,求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣4;(2)(8﹣2,﹣)、(0,﹣4)、(,﹣);(3)(,﹣).
【解析】
试题分析:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣4(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣2,0)、C(8,0)两点,∴,解得,∴该二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4;
(2)由二次函数y=x2﹣x﹣4可知对称轴x=3,∴D(3,0),∵C(8,0),∴CD=5,由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B(0,﹣4),设直线BC的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线BC的解析式为y=x﹣4,设E(m, m﹣4),当DC=CE时,EC2=(m﹣8)2+(m﹣4)2=CD2,即(m﹣8)2+(m﹣4)2=52,解得m1=8﹣2,m2=8+2(舍去),∴E(8﹣2,﹣);当DC=DE时,ED2=(m﹣3)2+(m﹣4)2=CD2,即(m﹣3)2+(m﹣4)2=52,解得m3=0,m4=8(舍去),∴E(0,﹣4);当EC=DE时,(m﹣8)2+(m﹣4)2=(m﹣3)2+(m﹣4)2解得m5=5.5,∴E(,﹣).综上,存在点E,使得△CDE为等腰三角形,所有符合条件的点E的坐标为(8﹣2,﹣)、(0,﹣4)、(,﹣).
(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点F,∵P点的横坐标为m,∴P点的纵坐标为m2﹣m﹣4,∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣(m2﹣m﹣4)]﹣(m﹣3)[﹣(m2﹣m﹣4)]﹣×3×4=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+,∴当m=时,△PBD的最大面积为,∴点P的坐标为(,﹣).
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【题目】如图,已知抛物线与y轴交于点,与x轴交于点,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
求这条抛物线的表达式及其顶点坐标;
当点P移动到抛物线的什么位置时,使得,求出此时点P的坐标;
当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动,在移动中,点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动;与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动,点P,M移动到各自终点时停止当两个动点移动t秒时,求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式,并求t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
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【题目】已知平面直角坐标系如图,直线的经过点和点.
求m、n的值;
如果抛物线经过点A、B,该抛物线的顶点为点P,求的值;
设点Q在直线上,且在第一象限内,直线与y轴的交点为点D,如果,求点Q的坐标.
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【题目】如图,平面上有线段AB和点C,按下列语句要求画图与填空:
(1)作射线AC;
(2)用尺规在线段AB的延长线上截取BD=AC;
(3)连接BC
(4)有一只蚂蚁想从点A爬到点B,它应该沿路径(填序号)______(①AB,②)爬行最近,这样爬行所运用到的数学原理是_____________________.
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【题目】如图,线段MN是周长为36cm的圆的直径(圆心为O),动点A从点M出发,以的速度沿顺时针方向在圆周上运动,经过点N时,其速度变为,并以这个速度继续沿顺时针方向运动之点M后停止。在动点A运动的同时,动点B从点N出发,以的速度沿逆时针方向在圆周上运动,绕一周后停止运动。设点A、点B运动时间为.
(1)连接OA、OB,当t=4时, = °,在整个运动过程中,当时,点A运动的路程为 cm(第2空结果用含t的式子表示);
(2)当A、B两点相遇时,求运动时间t;
(3)连接OA、OB,当时,请直接写出所有符合条件的运动时间t.
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【题目】阅读思考
我们知道,在数轴上|a|表示数a所对应的点到原点的距离,这是绝对值的几何意义,由此我们可进一步地来研究数轴上任意两个点之间的距离,一般地,如果数轴上两点A、B 对立的数用a,b表示,那么这两个点之间的距离AB=|a﹣b|.也可以用两点中右边的点所表示数的减去左边的点所表示的数来计算,例如:数轴上P,Q两点表示的数分别是﹣1和2,那么P,Q两点之间的距离就是 PQ=2﹣(﹣1)=3.
启发应用
如图,点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a、b满足|a+3|+(b﹣2)2=0
(1)求线段AB的长;
(2)如图,点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+1=x﹣8的解,
①求线段BC的长;
②在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC?若存在,直接写出点P对应的数:若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA,AB于点C和点D,且△BOD的面积S△BOD=4.
(1)求反比例函数解析式;
(2)求点C的坐标.
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【题目】已知边长为3的正方形ABCD中,点E在射线BC上,且BE=2CE,连接AE交射线DC于点F,若△ABE沿直线AE翻折,点B落在点B1处.
(1)如图1,若点E在线段BC上,求CF的长;
(2)求sin∠DAB1的值;
(3)如果题设中“BE=2CE”改为“=x”,其它条件都不变,试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围(只要写出结论,不需写出解题过程).
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【题目】某工厂第一车间有x人,第二车间比第一车间人数的 少30人,从第二车间调出y人到第一车间,那么:
(1)调动后,第一车间的人数为 人;第二车间的人数为 人.(用x,y的代数式表示);
(2)求调动后,第一车间的人数比第二车间的人数多几人(用x,y的代数式表示)?
(3)如果第一车间从第二车间调入的人数,是原来调入的10倍,则第一车间人数将达到360人,求实际调动后,(2)题中的具体人数.
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