Question

如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，且CD，AB的长分别是一元二次方程x²-7x+12=0的两根，则cos∠DPB=

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：计算题

分析：先利用因式分解法解方程得到AB=4，CD=3，再根据圆周角定理得∠C=∠ABP，∠CDP=∠A，则可判断△PCD∽△PBA，利用相似的性质得

PD

PB

=

CD

AB

=

3

4

，
连接BD，如图，由AB是半圆O的直径得到∠ADB=90°，然后在Rt△PDB中根据余弦的定义求解．

解答：解：解方程x²-7x+12=0得x₁=3，x₂=4，则AB=4，CD=3，
∵∠C=∠ABP，∠CDP=∠A，
∴△PCD∽△PBA，
∴

PD

PB

=

CD

AB

=

3

4

，
连接BD，如图，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△PDB中，cos∠DPB=

PD

PB

=

3

4

．
故答案为

3

4

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数．