Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=

3

5

，现作如下操作：将△ACB沿直线AC翻折，然后再放大得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），联结A′B，如果△AA′B是等腰三角形，那么B′C的长是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：在Rt△ABC中，根据余弦的定义得到cosB=

BC

AB

=

3

5

，则可得到BC=3，再利用勾股定理计算出AC=4，由于∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，所以只有AA′=AB=5，则A′C=AA′+AC=9，再根据折叠和位似的性质得∠B′=∠B，于是可判断Rt△A′B′C∽Rt△ABC，然后利用相似比可计算出B′C．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=

3

5

，
∴cosB=

BC

AB

=

3

5

，即BC=3，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
∵∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，
∴AA′=AB=5，
∴A′C=AA′+AC=5+4=9，
∵△ACB沿直线AC翻折，然后再放大得到△A′CB′，
∴∠B′=∠B，
∴Rt△A′B′C∽Rt△ABC，
∴

A′C

AC

=

B′C

BC

，即

9

4

=

B′C

3

，
∴B′C=

27

3

．
故答案为

27

4

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．