Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P点为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F．
（1）如图（1），当点P与点O重合时，请说明DF=CF．
（2）如图（2），若点P在线段AO上，（不与点A和O重合）PE⊥PB且PE交CD于点E．判断DF与EF是否相等，并证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用正方形性质可得PF∥AD，由点P为AC中点，即可求出点F是DC的中点，即可得到DF=CF．
（2）要证明DF=EF，连接PD，证明PD=PE，利用等腰三角形的性质，底边上三线合一，可以得出结论．

解答：证明：（1）如图（1），

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∵PF⊥DC于点F．
∴PF∥AD，
∵点O是对角线AC的中点，点P与点O重合，
∴点F是DC的中点，
∴DF=CF．
（2）DF=EF
证明：如图（2）连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，
AC平分∠BCD，CB=CD，
在△BCP和△DCP中，

CB=CD ∠PCB=∠PCD CP=CP

，
△BCP≌△DCP（SAS）
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF．

点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是合理的作出辅助线，利用各边之间的关系求证．