Question

已知关于x的方程x²+2ax+（a-4）=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂），若关于x的另一个方程x²+2ax+k=0的两个实数根都在x₁与x₂之间，试比较：代数式k+4，a，a²+4之间的大小关系．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：根据（1）有两个实数根，得到△=4a²-4a+16=（2a-1）²+15＞0，求出a²+4＞a；根据方程（2）有两个实数根，则有△=4a²-4k≥0，故a²≥k，则有a²+4≥k+4；根据二次函数的性质，判断出函数（2）的图象在函数（1）的上方，则有k＞a-4即k+4＞a，从而得出结论．

解答：解：方程（1）有两个实数根，则有△=4a²-4a+16=（2a-1）²+15＞0知，a可取任意实数，故a²+4＞a，
方程（2）有两个实数根，则有△=4a²-4k≥0，故a²≥k，则有a²+4≥k+4；
函数y=x²+2ax+（a-4）（1）与函数y=x²+2ax+k（2）与x轴的交点，即为它们所对应方程的根，而它们的开口方向相同，形状相同，根据题意则有，函数（2）的图象在函数（1）的上方，则有k＞a-4即k+4＞a，
则a²+4≥k+4＞a．

点评：本题考查了一元二次方程根的分布，结合根与系数的关系和二次函数与一元二次方程的关系是解题的基本思路．