Question

【题目】已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．

（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；

（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；

（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）CF的值为6或4．

【解析】

（1）连接FD．证明△ADC≌△EDF（SAS），推出△DFC为等腰直角三角形即可解决问题；

（2）成立，连接FD，证明△ADC≌△EDF（SAS），推出△DFC为等腰直角三角形即可解决问题；

（3）分两种情形分别画出图形，利用（2）中结论求出CD即可解决问题．

（1）证明：连接FD，

∵AD＝ED，∠ADE＝90°，

∴∠DAC＝∠AED＝45°，

∵四边形BCEF是平行四边形，∠BCE＝90°，

∴四边形BCEF是矩形，

∴∠CEF＝∠AEF＝90°，BC＝EF＝AC，

∴∠DEF＝45°，

∴∠A＝∠DEF，

∴△ADC≌△EDF（SAS），

∴DC＝DF，∠DCA＝∠DFE，

∴∠FDC＝∠FEC＝90°，从而△DFC为等腰直角三角形，

∴CD＝CF；

（2）解：成立．

理由：连接FD，

∵AD⊥DE，EF⊥AC，

∴∠DAC＝∠DEF，又AD＝ED，AC＝EF，

∴△ADC≌△EDF（SAS），

∴DC＝DF，∠ADC＝∠EDF，即∠ADE+∠EDC＝∠FDC+∠EDC，

∴∠FDC＝∠ADE＝90°，

∴△DFC为等腰直角三角形，

∴CD＝CF；

（3）解：如图3﹣1中，设AE与CD的交点为M，

∵CE＝CA，DE＝DA，

∴CD垂直平分AE，

∴，DM＝，

∴CD＝DM+CM＝，

∵CF＝CD

∴CF＝6；

如图3﹣2中，设AE与CD的交点为M，

同法可得CD＝CM﹣DM＝，

∴CF＝CD＝4，

综上所述，满足条件的CF的值为6或4．