Question

【题目】如图，抛物线与直线交于、两点，过作轴交抛物线于点，直线交轴于点．

求、、三点的坐标；

若点是线段上的一个动点，过作轴交抛物线于点，连接、，当时，求的值；

如图，连接，及，设点是的中点，点是线段上任意一点，将沿边翻折得到，求当为何值时，与重叠部分的面积是面积的．

Answer 1

【答案】（1）点坐标，点坐标，点坐标；（2）；（3）当或时，与重叠部分的面积是面积的．

【解析】

（1）列方程组可知A、B两点坐标，根据点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，列方程可求得点C坐标．
（2）如图1中，设，，则，根据 列出方程求出点H的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题．
（3）分两种情形①若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG．如图2，可证四边形PFCG是平行四边形，得，在Rt△PBO中，根据，即可解决问题．②若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG．如图3，可证四边形PFGC是平行四边形，得即可解决问题．

解：由解得或，

∴点坐标，点坐标，

∵轴，

∴点纵坐标为，

由，解得或，

∴点坐标．

如图中，设，，则，

由题意，

解得或（舍弃），

∴．

∵，，

∴，，，

∵，

∴．

①若翻折后，点在直线下方时，连接．如图，

∵，

∴，

∴．，

∴四边形是平行四边形，

∴，

在中，，

∴．

②若翻折后，点在直线上方时，连接．如图，

∵，

∴，

∴．，

∴四边形是平行四边形，

∴，

综上所述:当或时，与重叠部分的面积是面积的．