【题目】如图1,矩形DEFG中,DG=2,DE=3,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=2,FG,BC的延长线相交于点O,且FG⊥BC,OG=2,OC=4.将△ABC绕点O逆时针旋转α(0°≤α<180°)得到△A′B′C′.
(1)当α=30°时,求点C′到直线OF的距离.
(2)在图1中,取A′B′的中点P,连结C′P,如图2.
①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时,求点C′到直线DE的距离.
②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时,求该交点到直线DG的距离的取值范围.
【答案】(1)点C′到直线OF的距离为2;(2)①点C′到直线DE的距离为2+2;②2≤d≤﹣2或d=3.
【解析】
(1)过点C′作C′H⊥OF于H.根据直角三角形的边角关系,解直角三角形求出CH即可.
(2)①分两种情形:当C′P∥OF时,过点C′作C′M⊥OF于M;当C′P∥DG时,过点C′作C′N⊥FG于N.通过解直角三角形,分别求出C′M,C′N即可.
②设d为所求的距离.第一种情形:当点A′落在DE上时,连接OA′,延长ED交OC于M.当点P落在DE上时,连接OP,过点P作PQ⊥C′B′于Q.结合图象可得结论.
第二种情形:当A′P与FG相交,不与EF相交时,当点A′在FG上时,A′G=2﹣2,即d=2﹣2;当点P落在EF上时,设OF交A′B′于Q,过点P作PT⊥B′C′于T,过点P作PR∥OQ交OB′于R,连接OP.求出QG可得结论.
第三种情形:当A′P经过点F时,此时显然d=3.综上所述即可得结论.
解:(1)如图,
过点C′作C′H⊥OF于H.
∵△A′B′C′是由△ABC绕点O逆时针旋转得到,
∴C′O=CO=4,
在Rt△HC′中,
∵∠HC′O=α=30°,
∴C′H=C′Ocos30°=2,
∴点C′到直线OF的距离为2.
(2)①如图,当C′P∥OF时,过点C′作C′M⊥OF于M.
∵△A′B′C′为等腰直角三角形,P为A′B′的中点,
∴∠A′C′P=45°,
∵∠A′B′O=90°,
∴∠OC′P=135°.
∵C′P∥OF,
∴∠O=180°﹣∠OC′P=45°,
∴△OC′M是等腰直角三角形,
∵OC′=4,
∴C′M=C′Ocos45°=4×=,
∴点C′到直线DE的距离为.
如图,当C′P∥DG时,过点C′作C′N⊥FG于N.
同法可证△OC′N是等腰直角三角形,
∴C′N=,
∵GD=2,
∴点C′到直线DE的距离为.
②设d为所求的距离.
第一种情形:如图,当点A′落在DE上时,连接OA′,延长ED交OC于M.
∵OC=4,AC=2,∠ACO=90°,
∵OM=2,∠OMA′=90°,
∴A′M===4,
又∵OG=2,
∴DM=2,
∴A′D=A′M-DM=4-2=2,
即d=2,
如图,当点P落在DE上时,连接OP,过点P作PQ⊥C′B′于Q.
∵P为A′B′的中点,∠A′C′B′=90°,
∴PQ∥A′C′,
∴
∵B′C′=2
∴PQ=1,CQ=1,
∴Q点为B′C′的中点,也是旋转前BC的中点,
∴OQ=OC+CQ=5
∴OP==,
∴PM=,
∴PD=,
∴d=﹣2,
∴2≤d≤﹣2.
第二种情形:当A′P与FG相交,不与EF相交时,当点A′在FG上时,A′G=2﹣2,即d=2﹣2,
如图,当点P落在EF上时,设OF交A′B′于Q,过点P作PT⊥B′C′于T,过点P作PR∥OQ交OB′于R,连接OP.
由上可知OP=,OF=5,
∴FP===1,
∵OF=OT,PF=PT,∠F=∠PTO=90°,
∴Rt△OPF≌Rt△OPT(HL),
∴∠FOP=∠TOP,
∵PQ∥OQ,
∴∠OPR=∠POF,
∴∠OPR=∠POR,
∴OR=PR,
∵PT2+TR2=PR2,
∴PR=2.6,RT=2.4,
∵△B′PR∽△B′QO,
∴=,
∴=,
∴OQ=,
∴QG=OQ﹣OG=,即d=
∴2﹣2≤d<,
第三种情形:当A′P经过点F时,如图,
此时FG=3,即d=3.
综上所述,2≤d≤﹣2或d=3.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,抛物线()与轴交于A、B两点(点B在A的右侧),与轴交于点C,D是抛物线的顶点.
(1)当时,求顶点D 的坐标
(2)若OD = OB,求的值;
(3)设E为A,B两点间抛物线上的一个动点(含端点A,B),过点E作EH⊥轴,垂足为H,交直线BC于点F. 记线段EF的长为t,若t的最大值为,求的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点、在直线上,且,于点,且,以为直径在的左侧作半圆,于,且.
(1)若半圆上有一点,则的最大值为________;
(2)向右沿直线平移得到;
①如图,若截半圆的的长为,求的度数;
②当半圆与的边相切时,求平移距离.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一只羽毛球的重量合格标准是5.0克~5.2克(含5.0克,不含5.2克),某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验.并将所得数据绘制成如图统计图表.
4月份生产的羽毛球重量统计表
组别 | 重量x(克) | 数量(只) |
A | x<5.0 | m |
B | 5.0≤x<5.1 | 400 |
C | 5.1≤x<5.2 | 550 |
D | x≥5.2 | 30 |
(1)求表中m的值及图中B组扇形的圆心角的度数.
(2)问这些抽样检验的羽毛球中,合格率是多少?如果购得4月份生产的羽毛球10筒(每筒12只),估计所购得的羽毛球中,非合格品的羽毛球有多少只?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,与轴交于,与轴交于,且.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)直接写出不等式:的解集;
(3)是轴上一动点,直接写出叫的最大值和此时点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】建筑工人用边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种瓷砖铺设地面,正方形瓷砖分黑白两种颜色,密铺成图(1)的形状.用水泥浇筑前,为方便施工,工人要先把瓷砖按图1方式先摆放好,一工人摆放时,无意间将3块黑色正方形瓷砖上翻到一个正六边形的上面,其中三个正方形的一条边分别和正六边形的三条边重合,如图(2)所示.按图(2)方式给各点作上标注,若正方形的边长,则_____(不考虑瓷砖的厚度)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一个不透明的袋子里装有4个小球,分别标有1,2,3,7四个数字,这些小球除所标数字不同外,其余方面完全相同,甲、乙两人每次同时从袋子中各随机摸出一个小球,记下小球上的数字,并计算它们的和.
(1)请用画树状图或列表的方法,求两数和是8的概率;
(2)甲、乙两人想用这种方法做游戏,他们规定:若两数之和是2的倍数时,甲得3分;若两数之和是3的倍数时,乙得2分;当两数之和是其他数值时,两人均不得分.你认为这个游戏公平吗?请说明理由;若你认为不公平,请你修改得分规则,使游戏公平。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置,在地面上,支架是底边为的等腰直角三角形,摆动臂长可绕点旋转,摆动臂可绕点旋转,,.
(1)在旋转过程中:
①当三点在同一直线上时,求的长;
②当三点在同一直角三角形的顶点时,求的长.
(2)若摆动臂顺时针旋转,点的位置由外的点转到其内的点处,连结,如图2,此时,,求的长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com