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【题目】已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC边上的一个动点,将△ABD沿BD所在直线折叠,使点A落在点P处.
(1)如图1,若点D是AC中点,连接PC.

①写出BP,BD的长;
②求证:四边形BCPD是平行四边形.
(2)如图2,若BD=AD,过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H,求PH的长.

【答案】
(1)

解:①在Rt△ABC中,∵BC=2,AC=4,

∴AB= =2

∵AD=CD=2,

∴BD= =2

由翻折可知,BP=BA=2

②如图1中,

∵△BCD是等腰直角三角形,

∴∠BDC=45°,

∴∠ADB=∠BDP=135°,

∴∠PDC=135°﹣45°=90°,

∴∠BCD=∠PDC=90°,

∴DP∥BC,∵PD=AD=BC=2,

∴四边形BCPD是平行四边形.


(2)

如图2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延长BD交PA于M.

设BD=AD=x,则CD=4﹣x,

在Rt△BDC中,∵BD2=CD2+BC2

∴x2=(4﹣x)2+22

∴x=

∵DB=DA,DN⊥AB,

∴BN=AN=

在Rt△BDN中,DN= =

由△BDN∽△BAM,可得 =

=

∴AM=2,

∴AP=2AM=4,

由△ADM∽△APE,可得 =

=

∴AE=

∴EC=AC﹣AE=4﹣ =

易证四边形PECH是矩形,

∴PH=EC=


【解析】(1)①分别在Rt△ABC,Rt△BDC中,求出AB、BD即可解决问题;②想办法证明DP∥BC,DP=BC即可;(2)如图2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延长BD交PA于M.设BD=AD=x,则CD=4﹣x,在Rt△BDC中,可得x2=(4﹣x)2+22 , 推出x= ,推出DN= = ,由△BDN∽△BAM,可得 = ,由此求出AM,由△ADM∽△APE,可得 = ,由此求出AE= ,可得EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可解决问题.
【考点精析】认真审题,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2),还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键.

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B.
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