Question

【题目】已知抛物线y= ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点。

（1）若抛物线的对称轴为直线x= -1,求此抛物线的解析式；

（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；

（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90，求此时a的值。

Answer 1

【答案】（1）y= -0.5x-x+1;（2）-1<a<0;（3）a= -1.

【解析】

（1）可将A、M的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c的值，再根据抛物线的对称轴为-1，即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴在y轴左侧，即抛物线对称轴方程小于0，由此可得出a的取值范围．

（3）可设出B、C的坐标，如果∠BAC=90°，在直角三角形BAC中，可根据射影定理得出OA2=OCOB，据此可得出a的值．

将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有：

，

解得：.

∴抛物线的解析式为y=ax-(2+2a)x+1.

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，

∴，

解得a=-,

∴b=-1,

∴抛物线的解析式为y= -0.5x-x+1.

（2）∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，

∴，

即.

∵抛物线开口向下，

∴a＜0,

∴1+a＞0，且a＜0,

∴－1＜a＜0.

（3）设B（x1，0），C（x2，0），x1＜x2，

∵，且a＜0，

∴x1x2＜0，

即B在x轴负半轴，C在x轴正半轴.

∴OB=－x1，OC=x2,

∵∠BAC=90°，

∴在Rt△BAC中，AO⊥BC，根据射影定理可得：

OA2=OBOC=－x1x2=1，

即,

∴a=－1.