Question

【题目】在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 A 的坐标为（-2，0）．

（1）如图 1，当点 B 的坐标为（0，-4）时，则△AOB 的面积是 ；

（2）如图 2，在（1）的条件下，过点 A 作 AC⊥AB，且使 AC=AB，求第三象限内的点 C 的坐标；

（3）如图 3，P 为 y 轴负半轴上一点，过点 P 作 PD⊥PA，且使 PD=PA，过第四象限内的点 D 作 DE⊥x 轴于 E，试判断 OP-DE 的值是否发生变化．若不发生变化，请求其值；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）点C坐标为（-6，-2）；(3) 的值不发生变化，其值为2， 证明见解析

【解析】

（1）由A(-2，0)，B（0，-4）可得OA、OB的长度，利用三角形的面积公式进行计算即可得出答案；

（2）作CD⊥AD，易证∠ACD=∠OAB，即可求证△ACD≌△BAO，可得AD=OB，CD=OA即可解题；

（3）作DF⊥OP，易证∠APO=∠PDF，即可证明△AOP≌△PFD，可得AO=PF，DE=OF，即可解题．

（1）∵A(-2，0)，B（0，-4）

∴OA=2,OB=4

∴△AOB 的面积是：

故答案为：4

（2）如图，

过点C作CD⊥AD，

∴∠ADC=∠AOB=90°，

∵∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠OAB=90°，

∴∠ACD=∠OAB，

在△ACD和△BAO中，

∴△ACD≌△BAO，（AAS）

∴AD=OB，CD=OA，

∴OD=6,CD=2

∴点C坐标为（-6，-2）；

(3) OP-DE的值不发生变化，其值为2，理由如下：

作DF⊥OP，

∴∠AOP=∠PFD=90°，

∵∠APO+∠DPF=90°，∠PDF+∠DPF=90°，

∴∠APO=∠PDF，

在△AOP和△PFD中，

∴△AOP≌△PFD，（AAS）

∴AO=PF，

∵DE⊥x轴

∴∠OED=90°

∴∠OED=∠FOE=∠OFD=90°

∴四边形OFDE是矩形

∴DE=OF，

∴OP-DE=OP-OF=FP=AO=2