Question

5．如图，点E、F在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：4，过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果直线EF的解析式是y=-x+n，计算△OEF的面积．

Answer 1

分析 （1）作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，根据反比例函数的比例系数的几何意义由△OEP的面积为2易得k=4．
（2）求得反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，再证明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=4PE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，$\frac{4}{t}$），则F点的坐标为（4t，$\frac{4}{4t}$），由于S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，S_△OFD=S_△OEC=2，所以S_△OEF=S_梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算．

解答 解：（1）作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，
∵△OEP的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$|k|=2，
而k＞0，
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，

（2）∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴$\frac{PE}{HF}$=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{4}$，即HF=4PE，
设E点坐标为（t，$\frac{4}{t}$），则F点的坐标为（4t，$\frac{4}{4t}$），
∵S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，
而S_△OFD=S_△OEC=2，
∴S_△OEF=S_梯形ECDF=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{4t}$+$\frac{4}{t}$）（4t-t）
=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义；会利用相似比确定线段之间的关系．