Question

20．如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（-1，0），B（-1，1），C（1，0），D（1，1），记线段AB为T₁，线段CD为T₂，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与T₁，T₂都有公共点，则称点P是T₁-T₂联络点．例如，点P$（0，\frac{1}{2}）$是T₁-T₂联络点．
（1）以下各点中，②③是T₁-T₂联络点（填出所有正确的序号）；
①（0，2）；②（-4，2）；③（3，2）．
（2）直接在图1中画出所有T₁-T₂联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T₁-T₂联络点，
①若r=1，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意逐个判断即可；
（2）根据联络点的意义画出图形是直线AD和直线BC围成的区域；
（3）分为两种情况：①⊙M和直线AC相切于（0，0），②与直线BD相切于（0，1），点M在y轴上，⊙M上只有一个点为T₁-T₂联络点，得出阴影部分关于y轴对称，作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，$OF=\frac{1}{2}$，求出AF，在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+$\frac{1}{2}$，$sin∠EFM=sin∠AFO=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求出ME，即可求出r的范围．

解答 解：（1）②，③是T₁-T₂的联络点，
故答案为：②③；

（2）所有T₁-T₂的联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界），如图所示：；

（3）①∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为T₁-T₂的联络点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M和直线AC相切于（0，0），或与直线BD相切于（0，1），如图所示，
又∵⊙M的半径r=1，
∴点M的坐标为（0，-1）或（0，2），
经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为T₁-T₂联络点，符合题意．
∴点M的坐标为（0，-1）或（0，2），
∴点M的纵坐标为-1或2；

②阴影部分关于直线$y=\frac{1}{2}$对称，故不妨设点M位于阴影部分下方．
∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为T₁-T₂联络点，
阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于O（0，0），且⊙M与直线AD相离．
作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，
∴MO=r，ME＞r，F（0，$\frac{1}{2}$）．
在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，$OF=\frac{1}{2}$，
∴$AF=\sqrt{A{O^2}+O{F^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$sin∠AFO=\frac{AO}{AF}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+$\frac{1}{2}$，$sin∠EFM=sin∠AFO=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴$ME=FM•sin∠EFM=\frac{{\sqrt{5}（2r+1）}}{5}$．
∴$\frac{{\sqrt{5}（2r+1）}}{5}＞r$，
又∵r＞0，
∴$0＜r＜\sqrt{5}+2$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识点的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．