Question

10．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，5）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m（m＞0），当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）当点P运动到抛物线的顶点时，请在直线PE上找到一点Q，使OQ+CQ最小．并求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）可先求得C点坐标，再根据C、D坐标可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）用m表示出P、F的坐标，由条件可得PF=2，再分0＜m＜3和m≥3两种情况，分别得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）运动到顶点时，可知PE与对称轴重合，可求得C点关于对称轴的对称点的坐标G，连接OG与对称轴的交点即为所求Q点，再求得直线OG的解析式，可求得Q点坐标．

解答 解：（1）∵直线y=x+2经过y轴上的点C，∴C（0，2）
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点C（0，2）和D（3，5）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{5=-{3}^{2}+3b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x+2；
（2）∵P点横坐标为m（m＞0），
∴P（m，-m²+4m+2），F（m，m+2），
∵PF∥CO，
∴要以点O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF=CO=2即可，
①当0＜m＜3时，PF=2，即-m²+4m+2-（m+2）=2，
即m²-3m+2=0，解得m=1或m=2，
即当m=1或2时，四边形OCPF是平行四边形；
②当m≥3时，PF=2，即m+2-（-m²+4m+2）=2，
即m²-3m-2=0，解得m=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或m=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（小于3舍去），
即当m=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$时，四边形OCPF是平行四边形；
综上所述，当m=1或2或$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$时，四边形OCPF是平行四边形；
（3）由（1）得抛物线解析式为y=-x²+4x+2，求得它的对称轴为x=2，
P运动到抛物线顶点时，直线PE与抛物线的对称轴重合，
设点C关于直线x=2的对称点为G，则G（4，2），
如图，连接OG与PE相交于点Q，此时OQ+CQ最小，

设直线OG的解析式为y=kx，把点G（4，2）代入得2=4k，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线OG的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
当x=2时，y=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴Q点坐标为（2，1）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、对称的性质等知识点．在（1）中注意待定系数法的步骤，在（2）中根据平行四边形的性质得到PF=2是解题的关键，在（3）中利用对称的性质得到Q点的位置是解题的关键．本题考查知识较基础，难度不大．