Question

20．甲、乙两玩具厂从已有订单来看，两厂都预计自2011年起本厂的月利润y（十万元）与月份x之间满足一定的函数关系．甲厂预测的关系：y=$\frac{1}{8}$x²-x+2；乙厂则预测该厂的月利润与月份也满足二次函数关系，且图象形状与甲厂的相同．又知乙厂预测的该厂前几个月份的月利润如图所示，试根据上述信息解决下列问题：
（1）求乙厂预测的月利润y（十万元）与月份x之间的函数关系式；
（2）x为何值时，两厂的月利润差距为5万元？
（3）当两厂的月利润差距超过50万元时，月利润低的玩具厂被月利润高的玩具厂收购．如果不考虑其他因素，按上述趋势，是否会出现收购的情况？如果会，谁被谁收购？何时被收购？如果不会，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据：乙厂则预测该厂的月利润与月份也满足二次函数关系，且图象形状与甲厂的相同，设乙厂预测的月利润y（十万元）与月份x之间的函数关系式为y=$\frac{1}{8}$x²+bx+c，根据图象，把x=2，y=0.5，x=4，y=1代入求b、c的值，确定乙厂的函数关系式；
（2）分两种情况：y_甲-y_乙=0.5，y_乙-y_甲=0.5，列方程分别求解；
（3）分两种情况：①y_乙-y_甲＞5，②y_甲-y_乙＞5，列不等式求x的范围，作出判断．

解答 解：（1）设乙厂预测的月利润y（十万元）与月份x之间的函数关系式为y=$\frac{1}{8}$x2+bx+cc
由上图可知，取$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0.5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}×{2}^{2}+2b+c=0.5}\\{\frac{1}{8}×42+4b+c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
所以，乙厂预测的月利润y（十万元）与月份x之间的函数关系式为y=$\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1$；
（2）①若y_甲-y_乙=0.5，则（$\frac{1}{8}$x²-x+2）-（$\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1$）=0.5，解得x=1
②若y_乙-y_甲=0.5，则（$\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1$）-（$\frac{1}{8}$x²-x+2）=0.5，解得x=3
所以，x=1或3时，两厂的月利润差距为5万元；
（3）①若y_乙-y_甲＞5，即（$\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1$）-（$\frac{1}{8}$x²-x+2）＞5，解得x＞12
②y_甲-y_乙＞5，即（$\frac{1}{8}$x²-x+2）-（$\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1$）＞5，解得x＜-8（不合题意）
所以，会出现收购的情况，12个月后（或一年后或第13个月），甲厂会被乙厂收购．

点评 本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．