Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+6与x轴分别相交于点A、B，与y轴相交于点C，过点A的直线y=-$\frac{1}{2}$x+m与y轴相交于点D，连接CB并延长，与直线AD相交于点E，若点A的坐标为（-8，0），E为AD的中点，
（1）填空：m=-4；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PAE与∠BAE互补？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入直线y=-$\frac{1}{2}$x+m，可求得m的值；
（2）由条件可先求得AC=CD=10，过B作BF⊥AC于点F，可得到BF=BO，在Rt△ABF中由勾股定理可求得BF，可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）在直线AD的下方作∠EAQ=∠BAE，设CE的延长线与AQ相交于点G．直线AG与抛物线的交点就是所求的点P．由三角函数的定义可求得BE的长，过点E、G分别作EN⊥AB，GM⊥AB，垂足分别为N、M，可分别求得BN、EN，再根据△BEN∽△BGM可求得BM、MG，可求得G点坐标，可求得直线AG的解析式，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+m过A点，
∴把A点坐标代入可得0=-$\frac{1}{2}$×（-8）+m，解得m=-4，
故答案为：-4；
（2）抛物线y=ax²+bx+6，当x=0时，y=6．
∴OC=6．由题知OA=8．
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．
由（1）得，OD=4．
∴CD=10=CA．
∵AE=ED，
∴∠ACE=∠DCE．
如图1，过点B作BF⊥AC，垂足为F．

则CF=CO=6，BF=BO．
在Rt△ABF中，4²+BF²=（8-BF）²．
∴BF=3=OB．即点B的坐标为（-3，0）．
抛物线y=ax²+bx+6经过A（-8，0），B（-3，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+6=0}\\{9a-3b+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{11}{4}$x+6；
（3）存在．
如图2，在直线AD的下方作∠EAQ=∠BAE，设CE的延长线与AQ相交于点G．直线AG与抛物线的交点就是所求的点P．

由（1）知，CE⊥AD，则BE=EG．
∵$\frac{BE}{AB}$=sin∠BAE=$\frac{OD}{AD}$，
∴BE=$\frac{OD•AB}{AD}$=$\frac{4×5}{4\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
过点E、G分别作EN⊥AB，GM⊥AB，垂足分别为N、M，则∠BEN=∠BAE．
∴BN=BE•sin∠BEN=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=1，EN=BE•cos∠BEN=$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=2．
∵EN∥GM，
∴△BEN∽△BGM．
∴$\frac{BN}{BM}$=$\frac{NE}{MG}$=$\frac{BE}{BG}$，即$\frac{1}{BM}$=$\frac{2}{MG}$=$\frac{1}{2}$．
∴BM=2，MG=4．
∴点G的坐标是（-5，-4）．
设直线AG的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{-5k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AG的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{32}{3}$．
根据题意，-$\frac{4}{3}$x-$\frac{32}{3}$=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{11}{4}$x+6，解得x=-$\frac{25}{3}$或x=-8（舍去）．
当x=-$\frac{25}{3}$时，y=-$\frac{4}{3}$×（-$\frac{25}{3}$）-$\frac{32}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{25}{3}$，$\frac{4}{9}$）．
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-$\frac{25}{3}$，$\frac{4}{9}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义等知识点．在（2）中求得BF=BO=3，得到B点坐标是解题的关键，在（3）中先确定出点P的位置，再求得G点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．