Question

已知，如图二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点E是BD中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,相似三角形的判定与性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，然后把点D（2，m）代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图，根据勾股定理可求出BD，易求出点A的坐标，从而得到AB长，然后分两种情况（①若△QBE∽△ABD，②若△QBE∽△DBA）讨论，只需运用相似三角形的性质就可求出BQ，从而得到OQ，即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）由题可得：

c=4 16a+4b+c=0 - b 2a =1

，
解得：

a=- 1 2 b=1 c=4

，
∴二次函数的解析式为y=-

1

2

x²+x+4．
∵点D（2，m）在抛物线上，
∴m=-

1

2

×2²+2+4=4，
∴点D的坐标为（2，4）．

（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵点D（2，4），点B（4，0），
∴DH=4，OH=2，OB=4，
∴BH=2，∴DB=

DH2+HB2

=2

5

．
∵点E为DB的中点，
∴BE=

1

2

BD=

5

．
令y=0得-

1

2

x²+x+4=0，
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴点A为（-2，0），
∴AB=4-（-2）=6．
①若△QBE∽△ABD，
则

BQ

BA

=

BE

BD

，
∴

BQ

6

=

5

2 5

，
解得：BQ=3，
∴OQ=OB-BQ=4-3=1，
∴点Q的坐标为（1，0）；
②若△QBE∽△DBA，
则

BQ

BD

=

BE

BA

，
∴

BQ

2 5

=

5

6

，
∴BQ=

5

3

，
∴OQ=OB-BQ=4-

5

3

=

7

3

，
∴点Q的坐标为（

7

3

，0）．
综上所述：点Q的坐标为（1，0）或（

7

3

，0）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用相似三角形的性质及分类讨论是解决第（2）小题的关键．