Question

如图，△ABC是等腰三角形，点P是斜边AB上一点，将△CAP绕点C逆时针旋转90°至△CBP′的位置，若AC=2

2

，AP=1，求PP′的长度．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：作PD⊥AC于D，如图，由△ACB为等腰直角三角形得到∠A=45°，则可判断△APD为等腰直角三角形，所以PD=AD=

2

2

AP=

2

2

，接着得到CD=AC-AD=

3 2

2

，再在Rt△PCD中利用勾股定理计算出CP=

5

，然后根据旋转的性质得到CP=CP′，∠PCP′=90°，则可判断△PCP′为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形计算PP′的长度．

解答：解：作PD⊥AC于D，如图，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴PD=AD=

2

2

AP=

2

2

，
∴CD=AC-AD=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，
在Rt△PCD中，∵CD=

3 2

2

，PD=

2

2

，
∴CP=

PD2+CD2

=

5

，
∵△CAP绕点C逆时针旋转90°至△CBP′的位置，
∴CP=CP′，∠PCP′=90°，
∴△PCP′为等腰直角三角形，
∴PP′=

2

CP=

2

•

5

=

10

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．