Question

（1）如图1，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，求证：△ACP∽△PDB；
（2）如图2，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，且PC=PD，若∠APC=∠B，AC=2，BD=6，你能求出等腰三角形△PCD的腰长吗？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，证明∠A=∠BPD，∠APC=∠B，即可解决问题．
（2）如图2，证明∠A=∠BPD，结合∠APC=∠B，得到△ACP∽△PBD，列出比例式即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∠A+∠APC=∠PCD=60°；
∵∠APB=120°，
∴∠APC+∠BPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD；
同理可证：∠APC=∠B，
∴△ACP∽△PDB．
（2）如图2，∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC；
∵∠A+∠APC=∠PCD，∠B+∠BPD=∠PDC，
且∠APC=∠B，
∴∠A=∠BPD；
∴△ACP∽△PBD，
∴PC：BD=AC：PD，而PC=PD，
∴PC²=AC•BD=2×6，
∴PC=2

3

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察探究、大胆猜测推理、科学求解论证．