Question

如图，在正方形ABCD中，AK、AN是∠A内的两条射线，BK⊥AK，BL⊥AN，DM⊥AM，DN⊥AN，求证：KL=MN，KL⊥MN．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：易证∠NDA=∠BAF，即可证明△ADN≌△BAL，可得∠ABL=∠DAN，AN=BL，易证∠BAK=∠ADM，即可证明△AMD≌△BKA，可得∠ABK=∠DAM，AM=BK，即可求得∠LBK=∠MAN，即可证明△AMN≌△BKL，可得KL=MN，∠BLK=∠ANM，根据∠BLK+∠NLK=90°，即可解题．

解答：证明：∵∠NDA+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAF=90°，
∴∠NDA=∠BAF，
在△ADN和△BAL中，

∠ALB=∠AND=90° ∠NDA=∠BAF AB=AD

，
∴△ADN≌△BAL，（AAS）
∴∠ABL=∠DAN，AN=BL，
∵∠BAK+∠DAM=90°，∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠BAK=∠ADM，
在△AMD和△BKA中，

∠AKB=∠DMA=90° ∠ADM=∠BAK AD=AB

，
∴△AMD≌△BKA（AAS），
∴∠ABK=∠DAM，AM=BK，
∴∠LBK=∠MAN，
在△AMN和△BKL中，

BL=AN ∠LBK=∠MAN BK=AM

，
∴△AMN≌△BKL（SAS），
∴KL=MN，∠BLK=∠ANM，
∵∠BLK+∠NLK=90°，
∴∠LNM+∠NLK=90°，
∴KL⊥MN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADN≌△BAL、△AMD≌△BKA和△AMN≌△BKL是解题的关键．