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【题目】为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件,出厂价为每件,每月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系近似满足一次函数:

1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?

2)设李明获得的利润为(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?

3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于元.如果李明想要每月获得的利润不低于,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

【答案】1)政府这个月为他承担的总差价为600;

2)当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000;

3)销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【解析】

试题(1)把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价;

2)由利润=销售价成本价,w=x﹣10)(﹣10x+500,把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润;

3)令﹣10x2+600x﹣5000=3000,求出x的值,结合图象求出利润的范围,然后设设政府每个月为他承担的总差价为p,根据一次函数的性质求出总差价的最小值.

试题解析:(1)当x=20,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,

300×12﹣10=300×2=600,

即政府这个月为他承担的总差价为600;

2)依题意得,w=x﹣10)(﹣10x+500

=﹣10x2+600x﹣5000

=﹣10x﹣302+4000

∵a=﹣100,∴x=30,w有最大值4000元.

即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000;

3)由题意得:﹣10x2+600x﹣5000=3000,

解得:x1=20,x2=40

∵a=﹣100,抛物线开口向下,

结合图象可知:当20≤x≤40,w≥3000

∵x≤25,

20≤x≤25,w≥3000

设政府每个月为他承担的总差价为p,

∴p=12﹣10×﹣10x+500

=﹣20x+1000

∵k=﹣200

∴px的增大而减小,

x=25,p有最小值500元.

即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

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