Question

【题目】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿轴对折，点落到点处，过点、的抛物线与直线交于点、．

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积最大，求出点坐标；

（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，作垂直于轴，垂足为点，使得以、、为项点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

(1)由直线可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；

(2)先求得点D的坐标，作EF∥y轴交直线BD于F，设，利用三角形面积公式求得，再利用二次函数性质即可求得答案；

(3)如图1，2，分类讨论，当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；

(1)∵直线AB为，

令y=0，则，令，则y=2，

∴点A、B的坐标分别是：A (-1，0)，B(0，2)，

根据对折的性质：点C的坐标是：(1，0) ，

设直线BD解析式为，

把B(0，2)，C(1，0)代入，得，

解得：，，

∴直线BD解析式为，

把A(-1，0)，B(0，2)代入得，

解得：，，

∴抛物线的解析式为；

(2)解方程组得：和，

∴点D坐标为(3，-4) ，

作EF∥y轴交直线BD于F

设

∴

(0＜＜3)

∴当时，三角形面积最大，

此时，点的坐标为：；

(3)存在．

∵点B、C的坐标分别是B (0，2)、C (1，0)，

∴，，

①如图1所示，

当△MON∽△BCO时，

∴，即，

∴，

设，则，

将代入抛物线的解析式得：

解得：(不合题意，舍去)，，

∴点M的坐标为(1，2)；

②如图2所示，

当△MON∽△CBO时，

∴，即，

∴MN=ON，

设，则M(b，b)，

将M(b，b)代入抛物线的解析式得：

∴

解得：(不合题意，舍去)，，

∴点M的坐标为(，)，

∴存在这样的点或．