Question

若a是一元二次方程x²-x-1=0的一个根，则代数式（

a4+2a+1

a5

）²⁰¹⁴的值是

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的解

专题：

分析：根据一元二次方程根的定义得到a²-a=1、a²=a+1，然后将其代入整理后的代数式进行求值即可．

解答：解：∵a是一元二次方程x²-x-1=0的一个根，
∴a²-a-1=0，且a≠0．
∴a²=a+1、a²-1=a，a²-a=1，
∴

a4+2a+1

a5

，
=

(a+1)2+2a+1

a(a+1)2

，
=

(a+1)2+a2+a

a(a+1)2

，
=

(a+1)2+a(a+1)

a(a+1)2

，
=

a2+a

a(a+1)

，
=

a(a+1)

a(a+1)

，
=1，
∴（

a4+2a+1

a5

）²⁰¹⁴=1²⁰¹⁴=1．
故答案是：1．

点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．此题的难点是将所求的代数式进行化简．