Question

王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量z的关系为

-x2+10x(0≤x≤5) 25(5＜x≤15)

，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设y=kx代入（2，4）可得k与y的值．15≤x≤30；
（2）学习效益总量为W，根据题意可得W=-（x-4）²+76可推出z随着x的增大而减小．

解答：解：（1）设y=kx，把（2，4）代入，
得：k=2．
∴y=2x．
自变量x的取值范围是：
15≤x≤30．
（2）设王亮用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为W，
则他用于解题的时间为（30-x）分钟．
当0≤x≤5时，W=-x²+10x+2（30-x）=-x²+8x+60=-（x-4）²+76．
∴当x=4时，W_最大=76．
当5＜x≤15时，W=25+2（30-x）=-2x+85．
∵W随x的增大而减小，
∴当x=5时，W_最大=75
综合所述，当x=4时，W_最大=76，此时30-x=26．
即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．