Question

【题目】在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．

（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为　 °．

（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．

（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）CE的长为；（3）CG的长为．

【解析】

（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝∠DAC，计算可得∠DAE的度数.

（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；

（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵∠BAC＝54°，

∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，

由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，

∴∠DAE＝∠DAC＝18°；

故答案为：18；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，

由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，

∴BF＝＝＝8，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，

设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，

解得：x＝，

即CE的长为；

（3）连接EG，如图3所示：

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CE，

由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，

∴∠EFG＝90°＝∠C，

在Rt△CEG和△FEG中，

，

∴Rt△CEG≌△FEG（HL），

∴CG＝FG，

设CG＝FG＝y，

则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，

解得：y＝，

即CG的长为．