Question

9．小颖和小芳在一起探讨有关“多边形及其内角和”的问题，两人互相出题考对方，小颖给小芳出了这样一道题目：“一个凸五边形的各内角的度数比是1：2：3：4：8，求各内角的度数”．小芳想了想，说这道题目有问题．
（1）请你指出问题在哪里；
（2）她们经过研究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题目没有问题，并进行解答．

Answer 1

分析 （1）利用凸多边形内角都小于180°，进而得出答案；
（2）分别分析进而得出符合题意的数字，求出即可．

解答 解：（1）因为一个凸五边形的各内角的度数比为1：2；3：4：8
所以可设这些分别为x°，2x°，3x°，4x°，8x°，
有x+2x+3x+4x+8x=540
18x=540
x=30
8x=240＞180
说明这不是个凸五边形，所以有问题；
（2）如果要使它有解，且只能改变一个数的话，只能让最后一个数字尽可能的小，
或者其它数字尽可能地大，而比例一般按由小到大的顺序排列．
所以为以下几种情况：
2：2：3：4：8； 1：3：3：4：8；1：2：4：4：8； 1：2：3：8：8；
以上这几种情况都不行，因此只能尽可能地把最后一个变小
而最后一个为5时，求得最大角为180度，还不行，
只能让最后一个数字为4，也就是说让比变为1：2：3：4：4
这时有x+2x+3x+4x+4x=540
14x=540
x=$\frac{270}{7}$，
2x=$\frac{540}{7}$，
3x=$\frac{810}{7}$，
4x=$\frac{1080}{7}$，
所以这五个角依次为：$\frac{27{0}^{°}}{7}$，$\frac{54{0}^{°}}{7}$，$\frac{81{0}^{°}}{7}$，$\frac{108{0}^{°}}{7}$，$\frac{108{0}^{°}}{7}$．

点评 此题主要考查了多边形内角与外角，利用多边形内角和定理得出是解题关键．