Question

【题目】（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B=60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC=2，则CE+CF的长为_____．

（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B=60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF=60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC=2，求CE+CF的长．

（应用）在菱形ABCD中，∠B=60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF=60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC=2，EF⊥BC时，借助图③直接写出△AEF的周长．

Answer 1

【答案】【感知】2；【探究】2；【应用】

【解析】

感知：根据菱形的性质即可得解；

探究：首先根据菱形的性质，进行等量转换，然后判定△ABC是等边三角形，再进行等量转换，判定△ABE≌△ACF，得出BE=CF，即可得解；

应用：首先根据菱形的性质，进行等量转换，然后判定△ABC是等边三角形，再进行等量转换，判定△ACE≌△ADF，然后判定△AEF为等边三角形，再利用勾股定理即可得出EF，进而得出△AEF的周长.

感知：∵AC是菱形ABCD的对角线，∠B=60°，

∴AB=BC=AC=CD=AD，

∵E、F分别是边BC、CD上的中点，BC=2，

∴CE+CF=BC=2；

探究：如图，连结AC．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AB∥CD．

∴∠B+∠BCD=180°．

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°．

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC．

∴∠ACF=∠B=60°．

∵∠EAF=60°，

∴∠BAC﹣∠CAE=∠EAF﹣∠CAE．

∴∠BAE=∠CAF．

∴△ABE≌△ACF．

∴BE=CF．

∴CE+CF=BC=2．

应用：连接AC，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AB∥CD．

∴∠B+∠BCD=180°．

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°．

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC．

∴∠CAD=∠B=60°．

∵∠EAF=60°，

∴∠CAD﹣∠DAE=∠EAF﹣∠DAE．

∴∠CAE=∠DAF．

∵∠ACE=∠ADF，AC=AD

∴△ACE≌△ADF．

∴CE=DF，AE=AF

∵∠EAF=60°，

∴△AEF为等边三角形

∵EF⊥BC，∠ECF=60°

∴CF=2CE

∵CD=BC=2

∴CE=2

∴

∴△AEF的周长为．