Question

【题目】如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，交于，连接．

（1）求证：；

（2）若，①试判断四边形的形状，并证明你的结论；

②若，，直接写出线段的长_________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①四边形ADCF是菱形，证明见解析；②2

【解析】

（1）根据AF∥BC，得到∠AFE＝∠DBE，再证全等即可；

（2）①先证四边形ADCF是平行四边形，再证AD＝DC，从而证明ADCF是菱形；②证明△AFG∽△CBG，根据相似比求出，再根据勾股定理求出AC，从而求出AG长.

证明：（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEB中，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）①四边形ADCF是菱形，理由如下：

∵△AEF≌△DEB，

∴AF＝BD，

∵BD＝DC，

∴AF＝DC＝BC，

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，

∴AD＝DC，

∴四边形ADCF是菱形；

②∵AF∥BC

∴△AFG∽△CBG

∴

∴，

∴，

∵，，

∴BC=2BD=10，

在Rt△ABC中，

，

∴AG=2.