Question

16．如图所示，I为△ABC的内心，M为BC的中点，四边形IQDM为平行四边形，求证：∠QMD=90°．

Answer 1

分析 作IE⊥BC于E，根据内心的概念得到$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$，根据合比性质得到$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{BC}{AB+AC}$，证明DM=EM，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理得到△QMD≌△IEM，根据全等三角形的性质得到答案．

解答 证明：作IE⊥BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴AF平分∠BAC，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{BC}{AB+AC}$，
∴BF=$\frac{BC}{AB+AC}$•AB，
FM=BM-BF=$\frac{BC}{2}$-$\frac{BC}{AB+AC}$•AB，
$\frac{DM}{FM}$=$\frac{AI}{IF}$=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{AC+AB}{BC}$，
∴DM=$\frac{AC+AB}{BC}$•FM=$\frac{AC-AB}{2}$，
又∵EM=BM-BE=$\frac{BC}{2}$-$\frac{CB+AB-AC}{2}$=$\frac{AC-AB}{2}$，
∴DM=EM，
∵四边形IQDM为平行四边形，
∴∠IME=∠QDM，IM=QD，
在△QMD和△IEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EM}\\{∠QDM=∠IME}\\{DM=ME}\end{array}\right.$，
∴△QMD≌△IEM，
∴∠QMD=∠IEM=90°，
∴∠QMD=90°．

点评 本题考查的是三角形的五心的概念，掌握三角形的内心的概念、平行四边形的性质和合比性质是解题的关键．