Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求sin∠EBA的值．

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）,（2）或 ,（3）存在；（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）

【解析】

（1）先由直线解析式求出点A、C坐标，再将所求坐标代入二次函数解析式，求解可得；

（2）先求出B（1，0），设E（t，），作EH⊥x轴、FG⊥x轴，知EH∥FG，由EF=BF知，结合BH=1-t可得，据此知F（，），从而得出方程，解方程得出点E坐标，再进一步求解可得；

（3）分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况，其中EB为平行四边形的边时再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得．

解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，

∴C（0，6）、A（﹣3，0），

∵抛物线的图象经过A、C两点，

，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，

解得∴B（1，0），

设点E的横坐标为t，∴E（t，），

如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，

，

，

，

∴点F的横坐标为，

直线AC的解析式为y2x6，

，

，

∴t2+3t+2＝0，解得

当t＝﹣2时，

当t＝﹣1时，

∴

当点E的坐标为（﹣2，6）时，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，

，

；

同理，当点E的坐标为（﹣1，8）时，

，

∴sin∠EBA的值为或；

（3）存在，且M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．

∵点N在对称轴上，∴xN＝﹣1，

①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：

（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，

∵E，B（1，0），

∴由平移的性质得xM＝＝2，

当x＝2时，y＝

∴M（2，﹣10）；

（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，

∵xN＝﹣1，B（1，0），E（﹣2，6），

∴由平移的性质得xM＝＝﹣4，

当x＝﹣4时，y＝

∴M（﹣4，﹣10）；

②当EB为平行四边形的对角线时，

∵B（1，0），E，xN＝，

∴由中点坐标公式得：1+（﹣2）＝﹣1+xM，

∴xM＝0，

当x＝0时，y＝6，

∴M（0，6）；

综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．