Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN＝；③tan∠EAF＝；④△PMN∽△DPE．正确的是________．(填序号)

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先证ABM~FDM，利用相似三角形的性质即可判断①；过点P作PH⊥AN于点H，根据平行线分线段成比例定理，求出AP，AH的长，进一步得PH，HN的长，由勾股定理即可求出PN的长，即可判断②；分别求出EN，AN的长，即可判断③；证明∠DPN≠∠PDE，即可判断④．

∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，

∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=∠C=∠ADF=90°，CE=BE=1，

∵AF⊥DE，

∴∠DAF+∠ADN=∠ADN+∠CDE=90°，

∴∠DAF=∠CDE，

又∵AD=CD，∠ADF=∠DCE=90°，

∴ADFDCE（ASA），

∴DF=CE=1，

∵AB∥DF，

∴ABM~FDM，

∴，

∴S△ABM＝4S△FDM，故①正确；

∵AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠C=90°，

∴ABEDCE（SAS），

∴AE=DE=AF=，

∵，

∴DN=，

∴EN=DE-DN=-=，AN=，

∴tan∠EAF=，故③正确；

过点P作PH⊥AN于点H，

∵BE∥AD，

∴，

∴PA=，

∵tan∠EAF=，

∴sin∠EAF=，

∴PH=PAsin∠EAF=，

∵PH∥EN，

∴，

∴AH=，HN=AN-AH=，

∴PN=，故②正确；

∵PN≠DN，

∴∠DPN≠∠PDE，

∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．

故答案是：①②③．