Question

6．如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=6cm，BC=14cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过点P作PE交DC于点E，使得∠APE=∠B．
（1）试说明：△APB∽△PCE；
（2）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，易得∠B=∠C，又由∠APE=∠B，可得∠BAP=∠CPE，继而证得：△APB∽△PCE；
（2）首先由DE：EC=5：3，求得CE的长，然后由设BP=xcm，则PC=BC-BP=14-x（cm），由△APB∽△PCE，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：由∠APC为△ABP的外角得：∠APC=∠B+∠BAP，
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，
∴∠BAP=∠CPE，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似） …（8分）

（2）解：存在这样的点P．
理由如下：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，
∴CD=AB=8cm，
∵DE：EC=5：3，DE+CE=CD=8cm，
∴CE=$\frac{3}{8}$CD=3cm，
设BP=xcm，则PC=BC-BP=14-x（cm），
∵△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{CP}$=$\frac{BP}{CE}$，
即：$\frac{8}{14-x}$=$\frac{x}{3}$，
解得x₁=12，x₂=2，经检验，都符合题意
故BP=12或BP=2．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰梯形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．