Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且点C在以AB为直径的⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）点E是⊙O上一点，连接BE，CE．若∠BCE=42°，cos∠DAC= ，AC=m，写出求线段CE长的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OC，如图1中．

∵AC平分∠DAB，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴AD∥OC，

∴∠OCD=∠D=90°，

又∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：求解思路如下：

过点B作BF⊥CE于F，如图．

①在Rt△ACB中，根据BC=ACtan∠CAB，求出BC．

②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的长，可求CF，BF的长；

③在Rt△EFB中，由∠E的三角函数值及BF的长，可EF的长；

④由CE=CF+EF，可求CE的长

【解析】（1）连接OC，如图1中．只要证明OC∥AD，由AD⊥CD，即可证明OC⊥CD解决问题．（2）过点B作BF⊥CE于F，如图2中．①在Rt△ACB中，根据BC=ACtan∠CAB，求出BC．②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的长，可求CF，BF的长；③在Rt△EFB中，由∠E的三角函数值及BF的长，可EF的长；④由CE=CF+EF，可求CE的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解解直角三角形的相关知识，掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．