Question

12．如图，正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，点P为BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，求出三角形ADP，三角形ABP以及三角形ACP面积之和为2，继而可得BB′+CC′+DD′=$\frac{AP}{4}$，由AP的范围，求出所求式子的最大值即可．

解答 解：连接AC，DP．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，
∴AB=CD，S_{正方形ABCD}=2，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=1，S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=1，
∴S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=2，
∴$\frac{1}{2}$AP•BB′+$\frac{1}{2}$AP•CC′+$\frac{1}{2}$AP•DD′=$\frac{1}{2}$AP•（BB′+CC′+DD′）=2，
即BB′+CC′+DD′=$\frac{4}{AP}$，
∵当P与C重合时，AP取得最大值为$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2；
当P与B重合时，AP取得最小值为$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤AP≤2，
∴当P与B重合时，有最小值$\sqrt{2}$，
此时（BB′+CC′+DD′）_最大值=$\frac{4}{AP}$=2$\sqrt{2}$．
故选B

点评 此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=2，继而得到BB′+CC′+DD′=$\frac{4}{AP}$．