Question

7．阅读下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$×（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$×（3×4×5-2×3×4），
由以上三个等式相加，可得 1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

Answer 1

分析 由1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），…，得出n（n+1）=$\frac{1}{3}$[（n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，由此规律进一步拆开抵消得出答案即可．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$×10×11×12
=440．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

点评 此题主要考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．