Question

（12分）如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。

（1）求证：四边形DAEF平行四边形；
（2）（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需要证明）
①当∠A=           时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足                条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足              条件时；以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

Answer 1

（1）DAEF为平行四边形。（2）∠A=150°；AB=AC时；∠A=60°时。

试题分析：
（1）如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形
∵∠DBF=60°，∠FBA=∠ABC
而DB=AB, BF=BC
△DBF≌△ABC
∴DF=AC=AE
同理可证:DA=FE
所以:DAEF为平行四边形
（2）①如果∠DAE=90°,则DAEF为矩形
则必须∠BAC=360°-2×60°-90°=150°
(另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中, ∠DAE=2×60°+∠BAC>90°,DAEF不可能为矩形,而BC为短边, ∠BAC<90°)
②如果:DA=AE,则:DAEF为菱形
则必须:AB=AC
③如果: ∠BAC=60°
则: ∠DAE=3×60°=180°
D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在
点评：此种试题，比较难，过程繁琐，需要结合学过的四边形的判定和性质以及相关的证明方法，考查学生对几何证明题的综合应用。